【數咖GPS團隊創發同心圓尺的故事】

故事|2019.09.02

數咖GPS團隊從2019年起密集共備數學教學案例。在共備三角形外心時,我們從國中的尺規作圖出發,進階到高中的圓方程式。在腦力激盪時,有老師問了一個問題,在平面上給三個點,有沒有可能透過工具,立刻估計出外心位置?也就是到三角形頂點等距離的例子。這真是好的核心問題啊!

圖:2019.08.21 G 校高中學老師覺得驚豔,不停與我們討論起來

教學創新就是當每個人都持不同意見時珍惜特殊見解,再經過不斷思辨與測試,才有機會開拓新的路徑。

團員的彭甫堅老師接著想,「如果有一個半徑可以任意伸縮的活動圓能夠卡住三角形三頂點,這個圓的圓心就出現了」。可是這技術不太容易,後來GPS團隊繼續發想,「如果有很多個同心圓印在透明投影片,因為三點決定一個圓,就可以很快估計出三角形外心的位置。」

圖:G校R老師前來攤位了解同心圓尺

打開這扇門後,團員越發想也就越快樂起來!

思想長了翅膀飛高起來:「兩個點,三個點、四個點、五個點…、n個點,我們可以用同心圓尺同時估計出與這些點同時等距的定點(不共線三點就是外心)」

圖:G校校長也加入討論行列

GPS團隊即將出發到北歐,不知覺延伸去想,旅行地圖上如果有很多景點,用同心圓尺就可以同時找到和這些景點等距的點,這樣想讓數學變得很生活。為了去芬蘭分享我們的教學創新成果,我們也給自己出了一道題,如果住宿點選擇在這,從住宿點出發到這n個景點等距,就可以減少很多交通成本。大家就此去找芬蘭艾斯普的民宿,也終於讓我們找到了和交通要津距離相近的住宿地點。

數學思維真的有趣,可以發掘新的「看見」。同心圓尺似乎變得很神奇,讓我們重新看見拋物線、橢圓和雙曲線。它可以幫助我們測量出平面上所有點到一個定點和一直線等距離的所有點,就可以標出所有和焦點和準線等距離的點,這些點所形成的圖形不就是拋物線嗎?

如果老師給一個焦點,一條準線,讓學生試著標出所有和焦點及準線等距離的點,過去他們探索可能需要一節課,現在透過這個同心圓尺的工具,大概五分鐘就足以找出拋物線。

圖:G校學生好奇同心圓尺的應用

數學思維帶我們從很多變因中找到不變量,尤其是同時找到不變量,這真是令人興奮的時刻,如同阿基米德一般,會高喊出EUREKA!。從很多點,直線,甚至於曲線找到以上這些幾何圖形的中心點,不就是以簡馭繁最佳例子嗎?

彭甫堅老師把這個構想馬上告訴台南瀛海高中林怡瑄老師,她馬上製作了原型。GPS團隊於是從同心圓尺發想,共備開發教學探究策略可以使用的巧妙輔具。

怡瑄老師用在三角函數從極座標為核心的系統化教學,甫堅老師用在圓錐曲線,還有角平分線,中垂線,對稱軸,對稱,投影等,都可以應用。同心圓尺變成從等距離為概念找到中心的巧妙工具。

我們興奮的開始分享起來

2019.6.15 我們在台北建國中學針對社區高中發表,學生不停的探索

如果探究是一種樂趣,只要有適當的引導與工具,不管是校長、老師還是學生,都會主動地想參與與探索。

從同心圓尺我們可以看見,一個高度合作並能珍惜少數不同想法的團隊,就可能會是一個創新設計團隊,同心圓尺不厲害,厲害的是團隊愛上探索和數學探究的默契與堅持!